4.4
Aturan Rantai dan Diferensiasi Implisit
Teorema 4.4.1.(Aturan Rantai)
Jika $g$ dapat diturunkan di $x$, dan $f$ dapat diturunkan di $g(x)$,
maka komposisi $f\circ g$ dapat diturunkan di $x$. Dapat dituliskan,
jika $$y=f(g(x)) \quad \text{dan} \quad u=g(x)$$ maka $y=f(u)$ dan
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}.$$
- Asumsikan $y$ sebagai fungsi dari $x$.
- Lakukan diferensiasi terhadap $x$ pada kedua ruas.
- Modifikasi hingga hanya ada $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ pada ruas kiri.
Contoh 1 (ETS 2020)
Dapatkan $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dari $x^3y^2-3xy^2+x+y\sin
x=5$.
Pembahasan
Akan dicari $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dari fungsi implisit
$x^3y^2-3xy^2+x+y\sin x=5$ di mana $y$ merupakan fungsi dari $x$.
Misalkan $F=x^3y^2-3xy^2+x+y\sin x-5=0$. Langkah pertama adalah
melakukan diferensiasi pada $F$ terhadap $x$ dengan mengasumsikan
$y$ sebagai konstanta. Hasilnya adalah $3x^2y^2-3y^2+1+y\cos x
\dots (i)$. Selanjutnya, lakukan diferensiasi pada $F$ terhadap
$x$ dengan aturan rantai di mana $y$ merupakan fungsi dari $x$.
Hasilnya adalah $\displaystyle (2x^3y-6xy+\sin
x)\frac{dy}{dx}\dots (ii)$. Lalu, jumlahkan $(i)$ dan $(ii)$ untuk
kemudian disamadengankan dengan $0$. \begin{align*}
(3x^2y^2-3y^2+1+y\cos x)+(2x^3y-6xy+\sin x)\frac{dy}{dx}&=0\\
(2x^3y-6xy+\sin x)\frac{dy}{dx}&=-(3x^2y^2-3y^2+1+y\cos x)\\
\frac{dy}{dx}&=\frac{-3x^2y^2+3y^2-1-y\cos x}{2x^3y-6xy+\sin x}
\end{align*}
Contoh 2 (EAS 2021)
Diketahui $f'(x)=\sqrt{3x+4}$ dan $g(x)=x^2-1$. Jika $F(x)=f(g(x))$,
maka dapatkan $F'(x)$.
Pembahasan
Cara I:
Diberikan $=f'(x)=\displaystyle \frac{d}{dx}(f(x))=\sqrt{3x+4}$ dan $g(x)=x^2-1$. $$f'(g(x))=\frac{df}{dg}=\sqrt{3g(x)+4}$$ $$g'(x)=\frac{dg}{dx}=2x$$ Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh $F'(x)$ sebagai berikut. \begin{align*} F'(x)&=f'(g(x))g'(x)\\ &=\frac{df}{dg}.\frac{dg}{dx}\\ &=(\sqrt{3g(x)+4})(2x)\\ &=2x\sqrt{3(x^2-1)+4}\\ &=2x\sqrt{3x^2-3+4}\\ F'(x)&=2x\sqrt{3x^2+1} \end{align*}
Diberikan $=f'(x)=\displaystyle \frac{d}{dx}(f(x))=\sqrt{3x+4}$ dan $g(x)=x^2-1$. $$f'(g(x))=\frac{df}{dg}=\sqrt{3g(x)+4}$$ $$g'(x)=\frac{dg}{dx}=2x$$ Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh $F'(x)$ sebagai berikut. \begin{align*} F'(x)&=f'(g(x))g'(x)\\ &=\frac{df}{dg}.\frac{dg}{dx}\\ &=(\sqrt{3g(x)+4})(2x)\\ &=2x\sqrt{3(x^2-1)+4}\\ &=2x\sqrt{3x^2-3+4}\\ F'(x)&=2x\sqrt{3x^2+1} \end{align*}
Contoh 3 (ETS 2023)
Diberikan kurva dalam fungsi implisit $ xy+x+y+4=0$. Dapatkan
$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dari kurva tersebut dengan diferensiasi
implisit.
Pembahasan
Akan dicari $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dari fungsi implisit
$xy+x+y+4=0$ di mana $y$ merupakan fungsi dari $x$. Misalkan
$F=xy+x+y+4=0$. Langkah pertama adalah melakukan diferensiasi pada
$F$ terhadap $x$ dengan mengasumsikan $y$ sebagai konstanta.
Hasilnya adalah $\frac{\partial F}{\partial x}=y+1\dots (i)$.
Selanjutnya, lakukan diferensiasi pada $F$ terhadap $x$ dengan
aturan rantai di mana $y$ merupakan fungsi dari $x$. Hasilnya
adalah $\displaystyle (x+1)\frac{dy}{dx}\quad \dots (ii)$. Lalu,
jumlahkan $(i)$ dan $(ii)$ untuk kemudian disamadengankan dengan
$0$. \begin{align*} (y+1)+(x+1)\frac{dy}{dx}&=0\\
(x+1)\frac{dy}{dx}&=-(y+1)\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{-y-1}{x+1}
\end{align*}
Latihan!
EAS 2020
Dengan diferensiasi implisit, dapatkan $\displaystyle
\frac{dy}{dx}$ dari $$y=\frac{2x^2y+3x-4}{x-y}.$$
Jawab:
EAS 2021
Dapatkan $$\frac{d}{dx}\sqrt{x^3+\csc x}$$
Jawab:
ETS 2023/2024
Diberikan kurva dalam fungsi implisit $x^2-y+\frac{y}{x}=5$.
Dapatkan $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dari kurva tersebut dengan
diferensiasi implisit.
Jawab: